Toward a Unified Multiresolution Scheme in the Combined Physical/Stochastic Space for Stochastic Differential Equations

In the present work, an innovative method for solving stochastic partial differential equations is presented. A multiresolution method permitting to compute statistics of the quantity of interest for a whatever form of the probability density function is extended to permit an adaptation in both physical and stochastic spaces. The efficiency of this strategy, in terms of refinement/derefinement capabilities, is displayed for stochastic algebraic and differential equations with respect to other more classical techniques, like Monte Carlo (MC) and Polynomial Chaos (PC). Finally, the proposed strategy is applied to the heat equation, displaying very promising results in terms of accuracy, convergence and regularity. Key-words: Multiresolution, Ordinary Differential Equations, Partial Differential Equation, Uncertainty Quantification, Heat Equation. ha l-0 07 09 46 6, v er si on 1 18 J un 2 01 2 Schéma multirésolution pour la résolution d’équations différentielles stochastiques dans l’espace couplé physique/stochastique Résumé : Dans cette étude, on présente une méthode innovante pour résoudre les équations aux dérivées partielles stochastiques. Une méthode, précédemment développée afin de calculer une quantité d’intérêt pour une fonction densité de probabilité quelconque, est étendue pour permettre l’adaptation dans les espaces physiques et stochastiques en même temps. L’efficacité de cette stratégie, en terme de capacité à raffiner/déraffiner, est démontrée sur des équations algébriques et différentielles par rapport à d’autres techniques plus classiques, tel que Monte Carlo et Chaos Polynomial. Enfin, cette stratégie est appliquée à l’équation de la chaleur avec des résultats très prometteurs en terme de précision, convergence et régularité. Mots-clés : Multirésolution, équations différentielles ordinaires, équation aux dérivées partielles, quantification de l’incertitude, équation de la chaleur. ha l-0 07 09 46 6, v er si on 1 18 J un 2 01 2 A MR approach in physical/stochastic space 3